首先我们给数列和其推广(点列)一个严格的定义, 然后引入数列极限并作详细解释.
我们称函数$f:\Z_+\to\R, k\mapsto f(k)=a_k$为一个数列.
对于度量空间$(X,d)$, $f:\Z_+\to X, k\mapsto f(k)=x_k$为该度量空间内一个点列.
对$\{x_n\}_{n\in N_+}\subset\R,$若$\exists x\in R, \st \forall\eps>0,\exists N>0,\forall n>N:d(x_n,x)=|x_n-x|<\eps, $则称$\{x_n\}$收敛且有极限$x$,记作
对点列的定义类似, 只是距离函数$d$不同.
我们想要描述的是整个数列最终趋于一个值$x$,
“一个值”即$|x_n-x|<\eps$;
“最终”即为对$n$充分大, 实际也就是”$\exists N>0,\forall n>N$”;
“趋于”是说,$\forall\eps >0$,在充分大项数后,我们的$|x_n-x|$总会小于我们预先给定的$\eps$.
考虑例子$\{a_n\}=\frac1n$, 容易看出这个数列趋于$0$. 我们取$\eps=0.01$(潜规则是$\eps$应当任意小,注意这里我们的”小”指的是与$0$的距离.),则第$100$项后的所有项都满足$|a_n-0|=\frac1n<0.01=\eps$, 即
对$\eps=0.01,\exists N=100,\forall n>N:|a_n-0|<\eps$.
注意这里的一个很重要的细节是我们首先给定的是$\eps$, 逻辑语句的叙述顺序是不可以轻易改变的. (过一段时间我们会再来说明这个问题)
另外我们可以发现的是这里我们要预先知道数列的极限值, 这是我们用定义证明数列极限的必要条件. 我们把
的证明过程给出:
$\forall \eps >0,\exists N=\frac 1\eps,\forall n>N:|\frac1n-0|=\frac1n<\frac1N=\eps.$
应用定义证明数列极限时, 我们的$N$应为一个清晰的关于$\eps$的表达式(实际上,$N$就是一个关于$\eps$的函数). 比如我们再考虑一个例子,对于$\lambda>1$, 
这从直觉上也是显然的.
首先设$\lambda=1+\delta\wedge\delta>0$, 由二项式展开有$\lambda^n=(1+\delta)^n\geq 1+n\delta$. 则$\forall N>0,\exists n>N:\lambda^n>N.$ 马上我们就会说明为什么这么做, 但先来把证明写完:
$\forall\eps>0,(*) \exists N>0,\st \lambda^N>\frac1\eps,\forall n>N:|x_n-0|=\frac1{\lambda^n}<\frac1{\lambda^N}<\eps.$
对于(*)部分, 我们作一下额外的解释: (实际上根据Archimedes公理即可, 但我们在这里先用一下指数/对数函数 for 更加直观, 尽管我们目前还没有定义;)
$\lambda^N>\frac1\eps \iff N>\log_{\lambda}\frac1\eps$, 这只要取$N=\log_{\lambda}\frac1\eps+114514$. ($114514$是整活, 在此注明. 实际上$N$显然取得到.)
发表回复
要发表评论，您必须先登录。